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#题记**#**卡洛/文
量子多体计算领域有几个传统的谜团或者说神话故事，比如量子蒙特卡洛计算一旦遇到符号问题，其重要性抽样就当场失效；比如张量网络计算总能克服万难成功找到指数大的希尔伯特空间中那个甜蜜的小角落；比如第一性原理计算得到的能带可以煞有介事地解释关联电子材料的能谱；…… 。既然是谜团，就是可以没有标准答案，从业人员信与不信全看当时的心情，或者想也不想，别人怎么说我也怎么说。几十年过去了，谜团或者说神话故事，就这么口口相传下来。
但是总有愿意琢磨事儿的人，量子蒙特卡洛模拟中的符号问题，其实很多时候是一个如何表达多体系统配分函数的问题，是一个表达的问题。好的表达方式，实际上是人们找到对于量子多体配分函数正确认识的体现，选择了正确的表达方式，原本看似指数复杂的蒙特卡洛计算问题，还是可以变回代数计算复杂度，从而在有限时间、有限计算资源的实际情况下求解问题。种种蛛丝马迹，近年来已经从领域的各个方面提醒着愿意思考的人们。如在阻挫磁体模型的蒙卡模拟中从单自旋到集团（plaquette）自旋基底的变换，可以一定程度上克服符号问题**【1】；而下面这篇侦探小说所尝试讲述的，是最近刚刚发现的费米子量子蒙卡的符号问题的边界理论【2】**。
这个理论指出，通过观察有限尺度系统的能谱是否存在下界、系统基态简并度如何，并寻找到有类似性质的参考系统，其实可以在相互作用费米子模型中证明，即使当下蒙卡模拟的基底具有符号问题，这样的蒙特卡洛计算还是可以具有代数计算复杂度的符号边界。在这个理解之下，一些眼下大家关心的关联电子系统，比如具有长程库伦相互作用的平带二维量子摩尔材料模型和扩展相互作用的狄拉克电子晶格模型，即使有符号问题，也可以在代数的计算复杂度下通过重要性抽样求解，严格计算其热力学、动力学等等基本性质，发现新现象并与实验对照推动领域进展。
当然，完全理解这些抽象名词背后的科学，还是需要阅读原始的科学文献。这里作者只是通过一篇侦探小说，通过小说中业余侦探阿龙的分析，一步步在直觉上渲染了科学问题的背景和解决方案。阿龙探案蒙特卡洛符号问题，说到底也是一种表达，是希望可以引起读者对于如是问题的兴趣的表达。既然说到侦探小说，那渊源也是其来有自的，从大家熟知的柯南道尔，爱加莎克里斯蒂，到雷蒙德钱德勒，岛田庄司；从全知全能的福尔摩斯，赫利克里波洛，到愤世嫉俗、生活潦倒，内心带着伤痕的硬汉菲利浦马洛 ……，流派和表达的变化，似乎也在暗合着我们身在其中的科研生态，正在悄悄地从古典的纯净优雅温情脉脉的英式风格和中产阶级价值观，走向当下繁荣表象下堕落倾颓，内卷斗狠的黑色美学**【3】**。身处其中的个体，时时需要面对幻灭、沉沦、挣扎和自我救赎。这篇小说，虽然稚嫩，也可看出作者对于如是现实的思考。
参考文献：
[1] Thermodynamic properties of the Shastry-Sutherland model from quantum Monte Carlo simulations，Phys. Rev. B 98, 174432 （2018）
[2] Fermion sign bounds theory in quantum Monte Carlo simulation，Phys. Rev. B 106, 035121 （2022）
[3] 辣子鸡与符号问题 | 科学遐思
黄金鹦鹉螺号与幽灵船长**撰文 |张栩（香港大学物理系在读博士生）01阴晴不定的天气，职业记者与业余侦探**阿龙开着那辆破旧的二手小轿车载着我行驶在泥泞的山间小路上。“见鬼，这路可真难走，不知道他们有钱人为啥总喜欢住在这种大山窝的小别墅里，”阿龙一边抱怨着崎岖的山路一边开着车，“你说你一个记者，经常东跑西奔地去采访，也该学学开车了，总是让我代驾你不会不好意思的吗？”“就是因为东跑西奔才没时间去学嘛，况且我又不是不给你开工资。对了，我听说这次采访的对象是个公司的大老板，咱俩晚宴能吃顿好的了，说不定还能帮你找到份称心的工作。”“最好是这样咯。”阿龙故意拉着长腔说。阿龙是个博士毕业生，和我是大学同学。不像我读完大学就找了个小媒体公司做起了记者的行当，他目前处于博士毕业一年也没找到称心工作的状态。“你的追求就太狭隘，人不能满足于吃饱喝足这种小事，应该去追求能实现自身价值的事业。”这是他博士刚刚毕业时的豪言壮语，但现实是他目前成了我的专职司机兼跑腿打杂——虽然他自己不这么觉得。他自诩是个侦探，倒也确实作为“热心群众”帮上过警察的忙。不过既然是“热心群众”，当然就没有报酬，于是他今天还是老老实实地开着车。车开过一个小坡，山路由上行转为了下行，刚刚阴沉沉的天气突然放晴了。车行驶起来没有了那种软绵绵的感觉，显然这一段路的土面坚实了许多。我们这次要采访的人叫尼摩，是一家科技公司的大老板。听说早年和阿龙一样读的是物理学博士，与阿龙读的凝聚态物理不同，他是大气物理的方向。后来凭借一手准确的气象预测技术起家，慢慢发展起来成为了今天科技业界的领军人物。这次他借六十大寿生日的机会，要宣告自己退休并任命他的接班人。于是这次晚宴和宴会后的讲话成了值得报道的科技界大事。据说这位尼摩先生性格比较古怪，在二十多年前公司势头正盛的时候突然把这一带荒无人烟的地皮买下，修了幢别墅住了下来。虽然住进了大山里，他公司的事业倒是丝毫没有被落下，反倒应该说正是在这段时间内他的公司发展壮大成为了业界龙头。人们传言说这座别墅似有种神奇的魔力，能让人的创造力源源不断地涌出，阿龙和我显然是不相信这样的说法的。此别墅名曰鹦鹉螺馆，坐落在这四面环山的山凹之中，我们刚刚就驱车从山凹的外侧驶入到里侧来。“你知道吗？尼摩，鹦鹉螺让我想到了一本科幻小说。”阿龙聚精会神地注意着避开路上的每个大石块，头也不扭地对坐在副驾上的我说。“哦？是什么呢？”“我还以为你这做记者的会提前把功课做足呢。”“做功课不是你这当助手的责任吗？好了，别卖关子了，快说吧，助手先生。”“是大名鼎鼎的凡尔纳的《海底两万里》啦。书里的主角之一尼摩船长驾驶的那艘潜水艇就叫鹦鹉螺号，据说这个名字就是取自于鹦鹉螺利用气室实现上升和下潜的原理。这艘船的设计十分巧妙，很多地方看得出来经过仔细的估算和设计。要是凡尔纳先生拿这个想法去投个《自然》《科学》杂志，说不定也会被接收成为一篇高引的文章呢。”阿龙是没发过这两个杂志的，我不知道他这是在挖苦自己还是在称赞这位凡尔纳先生——毕竟能有幸被这个吹毛求疵的阿龙博士称赞的人实在极为稀少。没过多久，我们终于从繁茂的树林中穿出，远远地看到了那个螺旋状的半透明建筑——鹦鹉螺馆。它坐落在一汪深蓝色湖水的一隅，正如它的名字一样，如果从高处看就像是一只躺倒在海边闪闪发光的鹦鹉螺。“啊，真漂亮！”我惊叹道。“是啊，美妙的分形结构。”阿龙补充说。“你又在秀你那晦涩的物理词汇了。”“哈哈，分形更算是个数学词汇了。它是说同样的结构经过无限重复次比例的缩放构成的图案，就像这螺旋的鹦鹉螺壳，雪花或者一些无限分叉的植物的叶子。”阿龙笑着眯起眼睛看向我，仿佛我正中了他设计的诡计一般。在接近别墅时，晴朗的天气又突然地阴沉了下来，车窗外甚至飘起了细雨。地上的路又变得泥泞难走，看来这雨已经下了有一阵子了。这种天气一直持续到了鹦鹉螺馆的门口。**02鹦鹉螺馆里的幽灵船长**我们到达的时间在下午4点左右，虽然离晚宴开始应该还有几个小时，我以为来宾应该已经会有很多了，但在我们前面，鹦鹉螺馆的门口，只停了两辆警车。停下车走近看，鹦鹉螺馆是一个二层的别墅，外壳是透明的玻璃墙和玻璃门。朝向陆地的这边透过玻璃直接看到的是上下两层圆弧形的走廊和连接二楼的顺着鹦鹉螺壳外沿螺旋而上的楼梯。在馆外迎接我们的是一个身着燕尾服，打着花哨领带的二十多岁的小伙。他看到我们下车，将远眺湖面的目光移向我们，鞠了一躬，以冷漠的模板式的语气说：“抱歉，尼摩先生出了点事情，今天的晚宴取消了，麻烦二位请回吧。”“啊？什么事情？我都没听说啊。”阿龙显然对于白跑一趟还没休息就被这样随便遣返十分不满。“啊，抱歉，原谅我助手的冒失。我是今天约了尼摩先生专访的记者，这位是我的助手阿龙。如果方便的话，嗯……请问你怎么称呼？可以告诉我们尼摩先生出了什么事吗？”“我叫康塞，和丁娅小姐一起负责打点尼摩先生的事务，尼摩先生是我的养父。丁娅小姐目前正在被警官们问话。很抱歉，尼摩先生的事在警官们允许之前我不方便透露。早些时间我邮件通知了来宾们晚宴取消的事，可能没有通知到二位。让二位白跑一趟了，实在不好意思。”这位康塞说起话来带着一种拒人以千里之外的毛骨悚然的礼貌，就像是个不带感情的机器人，不知道他平时和尼摩先生的对话会不会也是这个样子。我不觉得康塞会由于疏忽忘记给我们邮件通知了，倒更可能是不靠谱的阿龙早上来之前忘记检查邮件了。想到这，我偷偷恶狠狠地瞪了阿龙一眼。阿龙看到了我凶恶的眼神，并没事儿一样地无视了我。甚至熟络地同这位机器人聊了起来：“哦，这条画着粉白相间花瓣的蓝底领带好别致啊，是请人专门为今天的晚宴设计的吗？”“唔，这是别人送给我的。”“哈哈，是女朋友送的？还是老婆呢？是不是那位丁娅小姐啊？”哪有头一次见面就八卦别人私生活的，我听着都感觉尴尬——虽然我不得不承认作为一个记者的助手，阿龙的奇怪问题确实能在一些采访中起到打开话匣子的奇效。但显然位机器人康塞先生并不是坐在椅子上无处逃避任人宰割的受访者，他冷漠的脸庞上漏出来一丝说不上是愤怒还是厌烦的神色，虽然只是一瞬，很快便又恢复了原状。他把脸扭向一边，表达着无可奉告的意思，不过阿龙似乎对这种反应已经感到满意了。此时，鹦鹉螺馆螺壳尽头的玻璃门打开了，一位打扮干练，简单将长发扎成一束的二十来岁的年轻女士在一高一矮两位警官的陪同下走了出来。这位女士应该就是丁娅小姐了。等他们经过康塞时，这位丁娅小姐似乎温柔而又悲伤地看了康塞一眼，而康塞仍保持着刚刚头扭向一边的姿势。还没等我反应过来，阿龙已经大步上前和警官们攀谈起来。说实话，阿龙是聊天方面的天才，几乎和所有人都能聊上几句，并得到一些他想知道的信息。单论这一点我必须承认他比我更像是一个专业的记者。果然没过多久，他就已经和警官打成一片了。“哈，这位就是我的那位记者老板啦。这两位分别是土拨鼠和灰背熊警官。” （请原谅我这不称职的记者忘记了警官们的名字，而沿用了后来阿龙起的绰号来称呼他们。）似乎阿龙把我们之前解决的案件和我的报道添油加醋地炫耀了一番，土拨鼠就欣然允许我们稍稍介入了，虽然灰背熊一副眉头紧锁的样子——也不知他是不情愿还是眉头紧锁就是他平常办案时的表情。在另一名女警官把丁娅带进警车做笔录之后，土拨鼠就跟我们在另一辆警车里聊起了这个案件：“尼摩先生昨晚被人杀害了，被一种圆锥形的凶器击中了后脑，案发地点在鹦鹉螺馆二楼中心的书房。当时在馆内的人除了尼摩先生，还有两位管家（康塞和丁娅），一位厨师和请来负责布置现场的2名工头。平时丁娅负责打点馆内的大小事务，当晚她在和厨师以及工头对第二天晚宴的菜色和布置做最后的确认，她是在尼摩先生休息前最后向他做汇报的人。康塞就是在晚宴后要被宣布成为公司继承者的人——虽然几年前公司的实际决定已经是他在做了。当晚他在检查鹦鹉螺馆附近的天气状况，并和尼摩先生讨论交接的细节。”“这么说只有康塞和丁娅当晚见到了尼摩先生了？”阿龙问道。“准确地说是晚饭后，因为所有人一起在一楼的大厅里吃的晚餐，尼摩先生似乎对这位大厨的手艺赞赏有加。晚饭后尼摩先生从一楼的大厅出来去二楼的书房了。书房只有不能打开的半透明的玻璃天窗，一边连着二楼的走廊，靠湖的另一边连着尼摩先生的卧室。康塞和丁娅的房间分别位于二楼走廊的两侧。二楼的卧室都有靠湖的落地窗。康塞和丁娅都称昨晚是在书房见的尼摩先生。”“这么说最后见到尼摩的丁娅有重大嫌疑咯，当然也不能完全排除凶手是后来翻窗从尼摩先生的卧室进入然后再去书房行凶的。”阿龙自言自语地说。“的确如此，毕竟好像他们二楼没有锁门窗的习惯，但我们倒是没有发现有翻窗的脚印之类的痕迹。一楼的中间是大厅，然后是给客人住的三间小房间，厨房和观测室——据说是观测水文气象之类的房间。一楼的小房间和二楼的大房间都配有独立的卫浴，只是二楼的要更大一些。”“水文观测室？这我还是头一次听说有人的别墅里会搞这么个房间的。”“我们之前也没有听说过，据说这个观测室可以很准确地测定这里湖水的温度、密度和蓄水量。你们来的时候也发现这附近的天气很怪了吧，似乎尼摩先生把别墅选在这里就是看上了这里多变的天气和降雨成分。这里不同地方雨水的密度跟湖水的密度很不一样，降水之后，不同地区不同密度的雨水汇集到湖里充分混合，湖水的密度也就会相应地改变。”“噢，这个我听说过。尼摩先生是靠气象预测技术起家的，号称可以通过无人机对不同位置云层的直接探测估计出相应位置的雨水密度和降雨量。这可真是了不起的技术啊，这里的鹦鹉螺馆大概就是他天然的大型实验室了吧。怪不得他搬来这里的那段时间正是公司起势的时候。”阿龙一拍大腿，这下和他来之前调研的资料对上了。“如果从作案动机上来看，我们也不能排除其他人见财起意的可能。因为书房里的一件珍贵的黄金制品不见了。另外，我们找遍了整幢房子，房子周围以及嫌疑人的身上也没有找到和死者伤口吻合的凶器。”“能带我们去现场看一下吗？”阿龙又开始提这种无礼的要求了，这次土拨鼠也微微皱起了眉头。“这恐怕不行，不过我们拍了现场的照片，可以拿给你参考。”说着，土拨鼠从灰背熊那里要来了相片的副本，供阿龙翻阅。“原来如此，这就是那位尼摩先生啊。”阿龙所指的照片上是一位伏倒在桌面上鬓发花白的中年男子，如果忽略头发只看健硕的身板，丝毫看不出来有六十岁的样子。正如警官所说，他似乎被凶手从身后袭击，后脑上被凿开了两根手指粗细的圆洞，仿佛被凶手从中抽出了灵魂，让原本神采奕奕的躯壳失去了生机。“书桌的抽屉是打开的，看来凶手袭击尼摩先生的时候他正在找些什么，又或者是凶手在袭击后希望找到些什么。“阿龙摆出一副正儿八经的样子，小声地说着各种他想到的可能性。“听两位管家说，书房的抽屉里并不会放什么公司的机密文件，因为尼摩先生似乎不喜欢在住所办公。里面放的大多数是尼摩先生的私人作品——他业余时间似乎很喜欢写一些诗歌或者小说。““如果找不到凶器，那么动机呢？有没有可能是那位尼摩先生的养子康塞不满他养父的遗产分配之类的而动了杀心呢？”“虽然有这种可能，但老实说我们很难相信他会因为遗产分配而起歹意。正如我刚刚所说，他将成为公司的继承者在几年前就是公司内部人尽皆知的事了，而这几乎就是可以让他衣食无忧的遗产了。事实上，康塞从小就被尼摩先生培养成为他的继任者，无论是送他上大学学习专业知识还是进公司锻炼经商头脑，康塞做得都让尼摩先生很满意。尼摩先生的直系亲属只有一个从小对经商完全不感兴趣的女儿，几年前去欧洲留学后就留在当地从事时装设计的工作了。出国后很少回家与尼摩先生来往，似乎关系也不是很融洽的样子。丁娅是之前在鹦鹉螺馆工作到退休的老管家的女儿，虽然没有上过大学，但打理馆内事务是一把好手。老管家的老婆还是尼摩先生托人介绍的，他们的家庭关系也很和睦。丁娅目前算是在尼摩先生这里工作，薪水对她这个学历而言是很高的了，几乎不用担心失业，双休日还可以回自己家有私人生活，应该很满意才对。”“那还真是难办啊，这样看上去两人的动机都不强，如果说是一时起意也太牵强了。”一直没顾得上打断阿龙和土拨鼠直接对话的我自言自语道。“有时候，反而看上去最没有动机的人才是真正的凶手啊。“阿龙拍了拍我的肩膀，露出一脸的怪笑。我不去理会那个推理狂人，把目光转向他手里的那张尼摩先生的照片。透过后脑上那令人毛骨悚然的漆黑的洞，似乎那位叫尼摩的船长的幽灵正试图通过这个洞口将我们也带往另一个世界。03****黄金鹦鹉螺号“再给我们看看其它照片吧。对了，之前提到的哪个珍藏的黄金制品是什么样子的？”阿龙问道。“喏，就是这个，是用黄金制成的一艘模型船，叫鹦鹉螺号。”土拨鼠从灰背熊那里找出两张照片，分别拍的是失窃前后书房门口的陈设。“据说这个模型是按照《海底两万里》小说里长宽高分别缩小100倍做成的，内部构造几乎完美还原了小说里的样子。唯一多出来的是船底有三个手指粗细约2厘米长的突起，用来固定到书房的木制底座上的三处凹槽里。”“那么，它就是最宽处约8厘米宽，70厘米长，体积约1500立方厘米，重约3.7千克咯。”阿龙一边按着手机一边说。“你知道的还真仔细啊。”我不禁称赞道。“这没什么，长宽和体积的数据都能从网上找到资料，重量简单拿黄金和钢铁的密度换算一下就好了。”“如果这样看的话，无论男人还是女人，都可以握住它在尼摩先生没有防备的时候将其杀害了。”阿龙突然得出了这样的结论，让我吃了一惊——失窃的黄金可能正是凶手藏匿的凶器！而警官们似乎已经料想到这样的可能性而显得很平静。“毕竟在凡尔纳的小说里，鹦鹉螺号可是用它那圆锥形的冲角击沉了战舰的。即使材料换成了黄金，硬度不如钢铁，如果我是尼摩先生，我也一定会希望通过制作冲角部分时用掺杂之类的手段复现出小说中的威力。”“很合理的推测，阿龙先生。关于这一点，我们也想到凶器可能就是这艘失踪的黄金鹦鹉螺号，这也是我们搜寻的重点。但奇怪的是我们找遍了别墅和周围也没有发现它。”“说不定这艘尼摩船长的船被死去的他的幽灵驾驶着驶往湖心去了呢。”我半开玩笑地说。“这是不可能的，这只模型船没有配备真正的动力装置，并且……”“并且它甚至不能浮在水面上，对吧？”阿龙抢先一步打断了土拨鼠一本正经的回答，“如果完美复原，体积成比例缩小但替换后材料的密度变大，必然是会沉下去的。这里1500立方厘米的模型受到的浮力大约等于1500立方厘米水的重量，也就是1.5千克，比3.7千克的船重实在小太多了。”土拨鼠点点头表示认可：“虽然看湖水的流向是从岸边往湖心流去的，但密度差这么多根本漂不了多远就会沉底了。”“但是，如果在模型底部的凸起上绑上充了气的气球呢？最近是尼摩先生的生日，家里会有装饰的气球可能也不是什么奇怪的事情……”阿龙提出了这个大胆的猜测。“气球？这确实是个有趣的想法，我们会让人再去更远处的湖面找找……”此时，刚刚在另一辆车里给丁娅做笔录的女警官过来跟土拨鼠耳语了几句，我们这位业余侦探的破案游戏便被迫终止了。“总之谢谢你们提供了很有帮助的建议，下面的事情由我们来处理就好了。那么二位如果没什么事的话就可以回去了。”阿龙虽然意犹未尽，但听到土拨鼠突然斩钉截铁的语气，自知纠缠下去也不会有结果，只好跟土拨鼠要了联系方式，希望事件有了能够公开的进展后可以第一时间联系我们，而我则对警官们提供的信息表示了感激。从警车上离开时，灰背熊那紧缩的眉头终于舒展开来，对着阿龙露出了得意的微笑，而阿龙则趁土拨鼠不注意偷偷地还以一个鬼脸。没吃到豪华晚宴的我们失望而归，淅淅沥沥的小雨渐渐地停了，但鹦鹉螺馆的上空依然被阴沉的乌云所笼罩，一如原本在此栖居二十年久久不愿散去的尼摩先生的亡魂。此时康塞似乎已经回到了馆里，天空中一架喷气式的无人机在云层中穿行——或许那就是尼摩先生引以为傲的探测器吧。回去的路上，阿龙开着车，话很少，似乎在让自己干燥的口舌得到休息，又似乎在思索着什么。天空渐渐阴暗下来，太阳落在了远处山的另一头，余晖照亮了乌云的边缘，也照亮了泛着涌向湖心方向的波纹的湖面。一路上，我努力地检查着湖面，希望能找到阿龙推测的那几只漂浮的气球，结果当然一无所获。阿龙却认真开着车，几乎没有把目光从路面上移开过。“真是遗憾，没能和尼摩先生聊上天。我大概会和他很聊得来吧。”汽车翻过山凹，阿龙朝别墅方向瞥了最后一眼突然说道。这个案件因为凶手很快自首而告破，后来警官们确实在靠近湖心的湖底找到了绑了气球的黄金鹦鹉螺号，而那些气球完全没有漏气。至此，关于我们所知晓的案件信息已悉数呈现给读者。我斗胆向读者们发起挑战：凶手是如何在众目睽睽之下将黄金鹦鹉螺号驶入湖底的呢？04****蒙特卡洛方法和符号边界理论“那个案子结了，因为凶手很快自首了，”阿龙对躺在客厅沙发上看着报纸，欣赏刚刚刊登出自己写的报道的我说，“据说凶手就是最后见到尼摩先生的那个名叫丁娅的女管家，动机似乎是对尼摩先生平日里吹毛求疵的要求累积了怨气，最后终于在他对丁娅布置晚宴的方案百般挑剔的情况下爆发了。”此时离案发已经过去了两周，当然我正得意洋洋地看着的报道与此案无关。“哦？所以凶器找到了吗？是不是那个绑了气球的黄金鹦鹉螺号？”“似乎是的，警官们在湖中找到了这艘模型船，确认了上面的血迹和指纹分别属于尼摩先生和丁娅小姐。发现时它确实绑了气球，是他们在我们走后第三天在靠近湖心的湖底找到的。气球和船身之间用防水胶固定得很好，以至于气球完全没有漏气。”让我不解的是，阿龙说出这些话的时候，没有猜中谜底般的兴奋和炫耀，反而有些沉重。“这不是正中了你的猜测嘛，阿龙侦探又大显神威了呀。”“问题就在这里，气球没有漏气，被发现的时候却沉在了水底，这说明凶手对充气量的把握要恰到好处才行。既不能充气过多使其一直漂浮在水面上被人一眼发现，也不能过少使其很快下沉到水底让警官们在岸边就能找到，而是需要控制好它的整体密度在将来的一段时间内都要与湖水相当才能像真正的潜艇一样悬浮在水中。我很难相信一直被训练成为管家没有上过大学的丁娅会具备这样的知识……并且如果她真的训练有素，她会因尼摩先生平日的严苛而积怨动杀心的说法也有些牵强……”“哈哈，我看你就是多虑了。密度的事说不定就是巧合呢，还是说上过大学的你就有办法把整个湖区未来的降水对湖水密度的改变算出来了？”“问题就是，理论上似乎还真存在这样的方法，虽然我不确定这会不会就是尼摩先生发展的利用无人机探测降水方法的一环……”阿龙拿起一支笔，抢过我的报纸，在我报道文章旁边的空白处比划着对我做着说明。“当然，理论上最直接的方式是把所有位置降水的密度乘以降水量，加起来得到降水的总质量，降水量加起来得到总体积，然后就可以计算降水的平均密度了。但这种方法因为需要知道湖区所有位置的降水情况，实际上是几乎做不到的。但如果认为不同地区之间降水的情况是连续变化的话，可以用一种叫做蒙特卡洛的方法，把不同位置降水量当作权重，对采样位置处的雨水密度做加权平均来实现降雨平均密度的测量。按照这个方法，用可以实时观测的无人机沿着一条马尔科夫链对应的细致平衡的路径飞行做采样测量，就能计算出降水的平均密度了。从直观上理解，就是降水量多的地方，雨水的密度对平均密度的影响更大，需要采样更多，没有降水的地方对平均密度没有贡献，自然就不需要采样。这就是蒙特卡洛方法的精髓——重要性抽样。”他接着在一旁画出一条曲线：“正如土拨鼠警官告诉我们的，鹦鹉螺馆周围雨水的密度和湖水很不一样，降雨后就能改变湖水的密度。显然犯人如果计算出将来几天的雨水密度与湖水密度相当或者略小于湖水的密度，就能保证黄金鹦鹉螺号在不被人发现的情况下悬浮在水中驶向湖心了。”
我努力地回忆着已经还给老师的大学里概率论的知识，不得不承认这似乎是一个理论上可行的办法。突然，我较真似地想到，在没有降水的地方还有太阳啊，难道不需要考虑湖水的蒸发吗？如果把湖水的蒸发看成是密度等于纯水密度的逆降水，对应位置的降水量看成是负的体积，那这里把降水量看成权重进行采样的方法就行不通了啊。意识到这一点，我立马把问题抛回给了阿龙，却未料想阿龙似乎早有准备。“对放晴的地方，权重确实为负，但仍然还是可以用重加权的办法去做。具体就是把负的权重取绝对值看成是重新定义良好的权重，同时把负号放进采样位置的密度那里。当然重加权之后这个定义良好的分布函数和之前不一样了，需要得到新分布下的结果后再除以阴、晴采样点对应正、负符号对新分布函数的加权平均值。需要我把公式给你写出来吗？”“唔……虽然我估计把公式写进我的报道里会让我失去一大半的读者……你写吧，我也想搞清楚这要怎么算……”阿龙飞快地写下：
“左边表示我们希望得到的位置i处降水量Vi做权重的降水密度ρ，按照总质量除以总体积的定义可以得到第一个等号的右边。这里因为Vi对于不同的位置有正有负，不能很好地看成权重，所以分子分母同时除以∑i|Vi|然后把Vi中的符号提出来与原来的观测量合并得到新的观测量，此时前面的权重|Vi|即为重加权。这样分子分母可以分别看成按照重加权的分布对±ρi和±1测量的结果。按重加权的分布用无人机测量就可以分别得到最右边分子和分母的值，从而计算出最左边的表达式了。”在阿龙苦口婆心地给我解释了半天之后，我才大概明白了这里的逻辑，不知我这笨拙的笔法能否让读者也可以读懂这其中的奥妙。在听完他的讲解后，我以挣扎的咸鱼的姿态，不服输似的向阿龙发出最后的挑战。“唔……这样做虽然形式上解决了所有的问题，但如果降水量和蒸发量相当的话，你最后公式的分母要趋向于0吧，这样如果还要保证算出最左边的平均降水密度是一个有限值，那最后的分子也必然趋向于0。对于一个均值趋向于0的观测量，有限采样的相对误差不会太大了吗？这样还要怎么把平均降水密度定准呢？”阿龙自信地一笑，开始调侃我起来：“哈哈，你太纠结于这里数学形式的特例了。确实，你说的这种情况是很难测准的，但你看看这个分母的样子，它明明在告诉你，只要降雨量足够大，或者放晴的地方足够少，它就会是很接近于1的一个数字了，然后这种方法就可以奏效。犯人需要做的只是像你一样躺在沙发上，看一眼天气预报，挑个合适的日子就行了。”原来如此，我太过纠结于要求这种方法能将每种可能的情况都算准，却忽视了犯人其实只要找到他能给出准确结果的那一天就行了！“你所担心的情况其实就是蒙特卡洛方法里著名的符号问题。完全避免符号问题显然是一个过强的条件了，如果能事先估计出符号的下边界是足够大的，那么这种方法仍然是可行的。最近有一篇Phys. Rev. B的文章，叫《Fermion sign bounds theory in quantum Monte Carlo simulation》，大概就是在寻找这种方法可行的‘真实情况’的，虽然那里说的是量子统计相关的问题。”阿龙最后补充道，“那里他们称这种有‘真实情况’对应的重加权得到的分母为‘sign bounds（符号边界）’。”05****尾声我们把阿龙的推理告诉了警官们，那种精确的密度控制即使不是用阿龙提出的方法，也很难想象是丁娅一个人能够做得到的，康塞应该也有重大的嫌疑。但自那之后我们再也没有收到这个案件的新消息了。据说后来康塞也辞去了公司继承人的位置，去了欧洲生活。尼摩先生一手建立的科技帝国由于内部群龙无首也日渐衰落。“尼摩先生那么优秀的一个人，究竟是哪一步走错了呢？”半年后的晚上，我吃过晚饭，读着尼摩先生的公司被别家收购的消息跟阿龙闲聊。“大概是从他一意孤行地培养康塞成为继承人开始吧。他大概是那种控制欲很强，希望所有事情完全按照自己的想法发展进行的人。”阿龙叹了口气，“说不定还有阻挠康塞对他女儿的感情的事。我后来发现那个领带是尼摩先生的女儿设计的，康塞大概以为六十岁大寿的日子他女儿会回来，所以特地带了那个和他很不搭的领带。”“尼摩先生阻挠康塞和他女儿的感情又何以见得呢？”“老实说，我没有任何证据。如果硬要说，只能说是侦探的直觉吧。尼摩先生的亲生女儿不想继承家业，选择了自己梦想的道路。尼摩先生应该是支持的，或者选择了用自己的方式妥协——收养了康塞作为自己的继承者。他把康塞视为自己意志的一种延续来精心培养，直到发现康塞似乎对自己的女儿抱有感情。他无法容忍自己事业上的意志拥有了自己的感情，何况还是对他的女儿。于是他安排了女儿出国留学生活，甚至让和康塞年纪相仿的丁娅来鹦鹉螺馆可能也是为了撮合她和康塞，至少希望康塞断了对自己女儿的念头。”“呵，你这侦探的直觉可真够发散的。如果丁娅和康塞只是被尼摩先生撮合，那丁娅完全没有必要为了掩护康塞而背这么大一口黑锅啊。”“谁知道丁娅对康塞又有多少感情在呢？她可能也从康塞身上看不到他放弃尼摩女儿的希望吧。而康塞也自知如果成为公司的继承者，在尼摩先生死前将永远只是他事业上意志的分身，于是那冷酷的机器人便下定了决心……”“好家伙，你这段狗血的三角恋再添油加醋地补上点细节都能拿去拍电影了，亏你想得出来。警官们都结了的案子我们也不要再没有根据地胡乱推理了。这起事件现在看来当然也不适合写成一则报道了，干脆把我们的这段故事写成小说好了。你觉得如何，阿龙？”黑夜里，窗外漆黑一片，这座城市死一样的沉寂着。我独自坐在窗边的椅子上，对着窗户上自己的影子神经兮兮地说。
